Đăng nhập Đăng ký
Toán lớp 12 · Chương V · Phương pháp toạ độ trong không gian

Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu và công thức tính góc

Vectơ pháp tuyến, tích có hướng, phương trình tổng quát của mặt phẳng; phương trình tham số, chính tắc và vị trí tương đối của đường thẳng; công thức tính góc; phương trình mặt cầu.

🧭 Luyện tập: Vectơ & Toạ Độ

💡 Kiến thức cần nhớ

📖 SGK: Bài 14. Phương trình mặt phẳng · Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 16. Công thức tính góc trong không gian · Bài 17. Phương trình mặt cầu

  • Tích có hướng của hai vectơ không cùng phương là một vectơ vuông góc với cả hai; nếu u, v là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì tích có hướng của chúng là một vectơ pháp tuyến.
  • Mặt phẳng đi qua M(x₀; y₀; z₀) có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C): A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.
  • Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng nhận tích có hướng của vectơ AB và vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.
  • Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0; song song khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.
  • Đường thẳng đi qua M(x₀; y₀; z₀) có vectơ chỉ phương u = (a; b; c): x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct.
  • Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương không cùng phương thì cắt nhau hoặc chéo nhau; cùng phương thì song song hoặc trùng nhau.
  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin; góc giữa hai đường thẳng và giữa hai mặt phẳng dùng côsin.
  • Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

📐 Công thức

Tích có hướng

$$[\vec u,\vec v] = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)$$

Với u = (a; b; c), v = (a'; b'; c'). [u, v] bằng vectơ không khi và chỉ khi u, v cùng phương.

Mặt phẳng

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
$$Ax + By + Cz + D = 0$$

Dạng tổng quát, với A, B, C không đồng thời bằng 0; vectơ pháp tuyến n = (A; B; C).

Phương trình đoạn chắn

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

Hai mặt phẳng

$$(P) \perp (Q) \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$$
$$(P) \parallel (Q) \Leftrightarrow \vec n' = k\vec n \text{ và } D' \ne kD$$

Vị trí hai đường thẳng

$$[\vec u_1,\vec u_2]\cdot\overrightarrow{A_1A_2} = 0 \Rightarrow \text{cắt nhau}$$
$$[\vec u_1,\vec u_2]\cdot\overrightarrow{A_1A_2} \ne 0 \Rightarrow \text{chéo nhau}$$

Xét khi hai vectơ chỉ phương không cùng phương; A₁, A₂ lần lượt thuộc hai đường thẳng.

Khoảng cách điểm – mặt phẳng

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Đường thẳng chính tắc

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\ (abc \ne 0)$$

Góc giữa hai đường thẳng

$$\cos(\Delta_1,\Delta_2) = \frac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1|\cdot|\vec u_2|}$$

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

$$\sin(\Delta,(P)) = \frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}$$

Góc giữa hai mặt phẳng

$$\cos((P),(Q)) = \frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}$$

Mặt cầu

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$$

Mặt cầu dạng khai triển

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$$
$$R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$$

Là mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² - d > 0.

🎬 Phương pháp giải (hình động)

Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng qua ba điểm

Góc giữa hai mặt phẳng

🧠 Sơ đồ tư duy

Đã hiểu bài chưa nào? 🎯🧭 Chơi Vectơ & Toạ Độ

Bài khác của lớp 12